Question

（本小题满分10分）

已知函数f(x)=|x-a|.

(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤5},求实数a的值;

(2)在(1)的条件下,若f(x)+f(x+5)≥m对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

(1) a=2   (2) (-∞,5).

【解析】

试题分析：解法一:(1)由f(x)≤3,得|x-a|≤3,解得a-3≤x≤a+3.

又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤5},

所以解得a=2.

(2)当a=2时,f(x)=|x-2|.设g(x)=f(x)+f(x+5),

于是g(x)=|x-2|+|x+3|=

所以当x<-3时,g(x)>5;当-3≤x≤2时,g(x)=5;当x>2时,g(x)>5.

综上可得,g(x)的最小值为5.

从而,若f(x)+f(x+5)≥m,即g(x)≥m对一切实数x恒成立,

则m的取值范围为(-∞,5］.

解法二:(1)同解法一.

(2)当a=2时,f(x)=|x-2|,设g(x)=f(x)+f(x+5).

由|x-2|+|x+3|≥|(x-2)-(x+3)|=5(当且仅当-3≤x≤2时等号成立)得,g(x)的最小值为5.

从而,若f(x)+f(x+5)≥m,即g(x)≥m对一切实数x恒成立,

则m的取值范围为(-∞,5).

考点：绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．

点评:本题考查函数恒成立问题，绝对值不等式的解法，考查转化思想，是中档题.