Question

设?是集合A中元素的一种运算，如果对于任意的x≠±y，x，y∈A，都有x?y←A，则称运算?对集合A是封闭的，若M={x|x=a+

2

b，a，b∈z}，则对集合M不封闭的运算是

 

．（选填：加法、减法、乘法、除法）

Answer 1

分析：先求出x，y的和，差，积，商；判断各个结果是否符合M的公共属性．判断出各个结果是否属于集合M；由运算封闭的定义得到答案．

解答：解：设x，y∈M，设x=a+

2

b，y=c+

2

d（a，b，c，d∈Z）
所以x+y=（a+c）+

2

(b+d)
∵a，b，c，d∈Z∴a+c，b+d∈Z
∴加法对集合M封闭
x-y=(a-c)+

2

(b-d)
∵a，b，c，d∈Z∴a-c，b-d∈Z
∴减法对集合M封闭
xy=(ac+2bd)+

2

(ad+bc)
∵a，b，c，d∈Z∴ac+2bd，bc+ad∈Z
∴乘法对集合M封闭

x

y

=

ac-2bd

c2-2d2

+

2

bc-ad

c2-2d2

∵a，b，c，d∈Z但

ac-2bd

c2-2d2

，

bc-ad

c2-2d2

不一定是整数
故除法对集合M不封闭
故答案为：除法

点评：本题考查加、减、乘、除四则运算法则；考查判断一个元素是否属于一个集合；理解题中的新定义．