Question

已知函数的图象关于直线y=x对称．
（1）求实数b的值；
（2）设A、B是函数图象上两个不同的定点，记向量，试证明对于函数图象所在的平面里任一向量，都存在唯一的实数λ₁、λ₂，使得成立．

Answer 1

解：（1）∵函数的图象关于直线y=x对称，
∴当点在函数的图象上时，点也在函数的图象上，即，化简，得（a+ab）x₀²+（1-b²）x₀-1-b=0．
此关于x₀的方程对的实数均成立，即方程的根多于2个，
∴，解之，得b=-1．
（2）由（1）知，，又点A、B是该函数图象上不同两点，则它们的横坐标必不相同，于是，可设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（x₁≠x₂），
所以都是非零向量．
又=
∴y₁≠y₂，
∴与不平行，
即与为函数图象所在坐标平面上所有向量的一组基．
根据平面向量的分解定理，可知，函数图象所在的平面上任一向量，都存在唯一实数λ₁、λ₂，使得成立．
分析：（1）由已知中函数的图象关于直线y=x对称，故点在函数的图象上时，点也在函数的图象，代入即可构造关于b的方程组，解方程组，即可得到答案．
（2）若要证明对于函数图象所在的平面早任一向量，都存在唯一的实数λ₁、λ₂，使得成立，即证明向量不共线．
点评：本题考查的知识点是函数的图象的对称性质，平面向量的基本定理及其意义，其中（1）的关键是要根据已知条件构造关于b的方程组，（2）的关键是理解向量，为平面内的一组基底，两向量不共线．