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已知函数的图象关于直线y=x对称.
(1)求实数b的值;
(2)设A、B是函数图象上两个不同的定点,记向量,试证明对于函数图象所在的平面里任一向量,都存在唯一的实数λ1、λ2,使得成立.
【答案】分析:(1)由已知中函数的图象关于直线y=x对称,故点在函数的图象上时,点也在函数的图象,代入即可构造关于b的方程组,解方程组,即可得到答案.
(2)若要证明对于函数图象所在的平面早任一向量,都存在唯一的实数λ1、λ2,使得成立,即证明向量不共线.
解答:解:(1)∵函数的图象关于直线y=x对称,
∴当点在函数的图象上时,点也在函数的图象上,即,化简,得(a+ab)x2+(1-b2)x-1-b=0.
此关于x的方程对的实数均成立,即方程的根多于2个,
,解之,得b=-1.
(2)由(1)知,,又点A、B是该函数图象上不同两点,则它们的横坐标必不相同,于是,可设A(x1,y1)、B(x2,y2)(x1≠x2),
所以都是非零向量.
=
∴y1≠y2
不平行,
为函数图象所在坐标平面上所有向量的一组基.
根据平面向量的分解定理,可知,函数图象所在的平面上任一向量,都存在唯一实数λ1、λ2,使得成立.
点评:本题考查的知识点是函数的图象的对称性质,平面向量的基本定理及其意义,其中(1)的关键是要根据已知条件构造关于b的方程组,(2)的关键是理解向量,为平面内的一组基底,两向量不共线.
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