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    已知函数满足：对于任意实数，都有恒成立，且当时，恒成立；

    (1)求的值，并例举满足题设条件的一个特殊的具体函数；

    (2)判定函数在R上的单调性，并加以证明；

    (3)若函数(其中)有三个零点,求的取值范围.

     

    【答案】

    （1）（2）函数f(x)在R上单调递增（3）

    【解析】

    试题分析：解：(1).取x=y=0代入题设中的?式得： 2分

    特例：（不唯一，只要特例符合题设条件就给2分）     4分

    （验证：，，）

    (2).判定:在R上单调递增（判断正确给1分）       5分

    证明：任取且，则

    ，所以函数f(x)在R上单调递增         9分

    (3).由

    又由（2）知f(x)在R上单调递增，所以

         .10分

    构造由

    或，，于是，题意等价于：

    与的图象有三个不同的交点（如上图,不妨设这三个零点），则，为的两根，即是一元二次方程的两根，，∴，

    （变量归一法），由在k∈（0，1）上单调递减，于是可得：              14分

    考点：函数的性质，函数与方程

    点评：解决的关键是利用函数的定义以及函数与方程的关系来求解得到，结合数形结合思想来得到，属于基础题。

     

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    下列说法中，正确的是（　　）
    ①对于定义域为R的函数f（x），若函数f（x）满足f（x+1）=f（1-x），则函数f（x）的图象关于x=1对称；
    ②当a＞1时，任取x∈R都有ax＞a-x；
    ③“a=1”是“函数f（x）=lg（ax+1）在（0，+∞）上单调递增”的充分必要条件；
    ④设a∈{-1，1，
    1
    2
    ，3}，则使函数y=xa的定义域为R且该函数为奇函数的所有a的值为1，3；
    ⑤已知a是函数f（x）=2x-log0.5x的零点，若0＜x0＜a，则f（x0）＜0．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    若定义在D上的函数y=f（x）满足条件：存在实数a，b（a＜b）且[a，b]?D，使得：
    ①任取x0∈[a，b]，有f（x0）=C（C是常数）；
    ②对于D内任意y0，当y0∉[a，b]，总有f（y0）＜C．
    我们将满足上述两条件的函数f（x）称为“平顶型”函数，称C为“平顶高度”，称b-a为“平顶宽度”．根据上述定义，解决下列问题：
    （1）函数f（x）=-|x+2|-|x-3|是否为“平顶型”函数？若是，求出“平顶高度”和“平顶宽度”；若不是，简要说明理由．
    （2）已知f(x)=mx-
    		x2+2x+n
    ，x∈[-2，+∞)    是“平顶型”函数，求出m，n的值．
    （3）对于（2）中的函数f（x），若f（x）=kx在x∈[-2，+∞）上有两个不相等的根，求实数k的取值范围．

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    科目：高中数学 来源：2012届上海市高三第一学期期中理科数学试卷 题型：解答题

    若定义在上的函数满足条件：存在实数且，使得：

    ⑴ 任取，有（是常数）；

    ⑵ 对于内任意，当，总有。

    我们将满足上述两条件的函数称为“平顶型”函数，称为“平顶高度”，称为“平顶宽度”。根据上述定义，解决下列问题：

    （1）函数是否为“平顶型”函数？若是，求出“平顶高度”和“平顶宽度”；若不是，简要说明理由。

    （2） 已知是“平顶型”函数，求出 的值。

    （3）对于（2）中的函数，若在上有两个不相等的根，求实数的取值范围。

     

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    科目：高中数学 来源：2010年高考试题（上海秋季）解析版（理） 题型：解答题

     [番茄花园1] 本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分10分。

    若实数、、满足，则称比远离.

    （1）若比1远离0，求的取值范围；

    （2）对任意两个不相等的正数、，证明：比远离；

    （3）已知函数的定义域.任取，等于和中远离0的那个值.写出函数的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）.

    23本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.

    已知椭圆的方程为，点P的坐标为（-a，b）.

    （1）若直角坐标平面上的点M、A(0,-b)，B(a，0)满足,求点的坐标；

    （2）设直线交椭圆于、两点，交直线于点.若，证明：为的中点；

    （3）对于椭圆上的点Q（a cosθ，b sinθ）（0＜θ＜π），如果椭圆上存在不同的两个交点、满足,写出求作点、的步骤，并求出使、存在的θ的取值范围.

     

     

     

     

     [番茄花园1]22.

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    科目：高中数学 来源：2012-2013学年黑龙江省大庆市铁人中学高三（上）第二次段考数学试卷（解析版） 题型：选择题

    下列说法中，正确的是（ ）
    ①对于定义域为R的函数f（x），若函数f（x）满足f（x+1）=f（1-x），则函数f（x）的图象关于x=1对称；
    ②当a＞1时，任取x∈R都有ax＞a-x；
    ③“a=1”是“函数f（x）=lg（ax+1）在（0，+∞）上单调递增”的充分必要条件；
    ④设a∈{-1，1，，3}，则使函数y=xa的定义域为R且该函数为奇函数的所有a的值为1，3；
    ⑤已知a是函数f（x）=2x-log0.5x的零点，若0＜x＜a，则f（x）＜0．
    A．①④
    B．①④⑤
    C．②③④
    D．①⑤

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