Question

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面为直角梯形ABCD,AD∥BC,∠BAD=90^O,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M,N分别为PC,PB的中点.(1)求证:PB⊥DM;(2)求CD与平面ADMN所成角的正弦值;(3)在棱PD上是否存在点E,且PE∶ED=λ,使得二面角C-AN-E的平面角为60^o.若存在求出λ值，若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）建系，利用，证明PB⊥DM
（2）
（3）先假设存在，求出法向量，可以算出无解，所以不存在符合要求的解.

试题分析：（1）如图以A为原点建立空间直角坐标系

A（0，0，0），B（2，0，0），
C（2，1，0），D（0，2，0）
M（1，，1），N（1，0，1），
E（0，m，2-m），P（0，0，2）
（2，0，-2），（1，-，1），
="0"
（2）=（-2，1，0）平面ADMN法向量=（x,y,z），
=（0，2，0），=（1，0，1） ，
所以 ，即 ，解得=（1，0，-1），
设CD与平面ADMN所成角α，则.
（3）设平面ACN法向量=（x,y,z）,
所以，解得=（1,-2,-1），
设,所以，
同理可以求出平面AEN的法向量，
因为，所以，
所以 ，
此方程无解，所以不存在符合要求的点.
点评：解决立体几何问题，可以建立空间向量，但是证明时也要根据相应的判定定理和性质定理，定理中要求的条件要一一列举出来，另外还要注意各种角的取值范围.