Question

6．若f（x）满足对任意的实数a，b都有f（a+b）=f（a）•f（b）且f（1）=2，则$\frac{f（2）}{f（1）}$+$\frac{f（4）}{f（3）}$+$\frac{f（6）}{f（5）}$+…+$\frac{f（2016）}{f（2015）}$=（　　）

• A． 1 007
• B． 1 008
• C． 2 015
• D． 2 016

Answer 1

分析 在f（a+b）=f（a）•f（b）中令b=1得，f（a+1）=f（a）•f（1），变形为$\frac{f（a+1）}{f（a）}$=f（1）=2，可知$\frac{f（2）}{f（1）}$=$\frac{f（4）}{f（3）}$=$\frac{f（6）}{f（5）}$=…=$\frac{f（2016）}{f（2015）}$=2（共有1008项），以此可以答案可求．

解答 解：∵f（x）满足对任意的实数a，b都有f（a+b）=f（a）•f（b），
∴令b=1得，f（a+1）=f（a）•f（1），
∴$\frac{f（a+1）}{f（a）}$=f（1）=2．
∴$\frac{f（2）}{f（1）}$=$\frac{f（4）}{f（3）}$=$\frac{f（6）}{f（5）}$=…=$\frac{f（2016）}{f（2015）}$=2（共有1008项），
∴$\frac{f（2）}{f（1）}$+$\frac{f（4）}{f（3）}$+$\frac{f（6）}{f（5）}$+…+$\frac{f（2016）}{f（2015）}$=1008×2=2016．
故选：D．

点评 本题考查抽象函数值求解，对于抽象函数关键是对字母准确、灵活赋值，构造出更具体的题目需求的关系式，属于中档题．