Question

【题目】把半椭圆与圆弧合成的曲线称作“曲圆”，其中F为半椭圆的右焦点，A是圆弧与x轴的交点，过点F的直线交“曲圆”于P，Q两点，则的周长取值范围为______

Answer 1

【答案】

【解析】

首先判断直线PQ的斜率不能为0，设直线PQ的倾斜角为，，求得F，A的坐标，以及圆的圆心和半径，求得直线PQ经过圆与y轴的交点B，C的倾斜角，分别讨论当时，当，时，当时，P，Q的位置，结合椭圆的定义和圆的定义和等腰三角形的性质，可得的周长的范围．

解：显然直线PQ的斜率不能为0，设直线PQ的倾斜角为，，

由半椭圆方程为可得，

圆弧方程为：的圆心为，半径为2，

且恰为椭圆的左焦点，，

与y轴的两个交点为，，

当直线PQ经过B时，，即有；

当直线PQ经过C时，，即有．

当时，Q、P分别在圆弧：、

半椭圆上，

为腰为2的等腰三角形，则，

的周长；

当时，P、Q分别在圆弧：、

半椭圆上，

为腰为2的等腰三角形，且，

的周长；

当时，P、Q在半椭圆上，

的周长．

综上可得，的周长取值范围为．

故答案为：．