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    已知函数y=x+
    a
    x
    （x＞0）有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在（0，
    		a
    ]上是减函数，在[
    		a
    ，+∞）上是增函数．
    （1）如果函数y=x+
    b2
    x
    （x＞0）的值域为[6，+∞），求b的值；
    （2）研究函数y=x2+
    c
    x2
    （x＞0，常数c＞0）在定义域内的单调性，并用定义证明（若有多个单调区间，请选择一个证明）；
    （3）对函数y=x+
    a
    x
    和y=x2+
    a
    x2
    （x＞0，常数a＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数F（x）=(x2+
    1
    x
    )2    +(
    1
    x2
    +x)2    在区间[
    1
    2
    ，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．
    分析：（1）根据题意可知：函数y=x+
    b2
    x
    （x＞0）在（0，
    		b2
    ]上是减函数，在[
    		b2
    ，+∞）上是增函数．从而当x=
    		b2
    时，函数取到最小值6，故可解；
    （2）根据题意可知：函数y=x2+
    c
    x2
    （x＞0，常数c＞0）在（0，
    4c
    ]上是减函数，在[
    4c
    ，+∞）上是增函数，再用定义进行证明；
    （3）根据题意，结合基本不等式可作推广．利用推广结论，可知函数在[
    1
    2
    ，1]    上是减函数，在[1，2]上是增函数，从而可解．
    解答：解：（1）函数y=x+
    b2
    x
    （x＞0）在（0，
    		b2
    ]上是减函数，在[
    		b2
    ，+∞）上是增函数．当x=
    		b2
    时，ymin=
    		b2
    +
    b2
    		b2
    =2
    		b2
    =6    ，
    所以b=±3．（漏-3，扣1分）…（4分）
    （2）函数y=x2+
    c
    x2
    （x＞0，常数c＞0）在（0，
    4c
    ]上是减函数，在[
    4c
    ，+∞）上是增函数．…（2分）
    证明：函数y=x2+
    c
    x2
    （x＞0，常数c＞0）在（0，
    4c
    ]上是减函数
    在（0，
    4c
    ]内任取两个变量x1，x2，且x1＜x2，
    则y1-y2=
    x
    2
    1
     +
    c
    x
    2
    1
    -
    x
    2
    2
    -
    c
    x
    2
    2
    =
    (
    x
    2
    1
    -
    x
    2
    2
    )(
    x
    2
    1
    x
    2
    2
    -c)
    x
    2
    1
    x
    2
    2

    ∵x1，x2∈（0，
    4c
    ]且x1＜x2，
    ∴y1＞y2
    ∴函数y=x2+
    c
    x2
    （x＞0，常数c＞0）在（0，
    4c
    ]上是减函数…（4分）
    （3）作出推广：y=xn+
    a
    xn
    （x＞0，n∈N*，常数a＞0）…（1分）
    在（0，
    2na
    ]上是减函数，在[
    2na
    ，+∞）上是增函数．…（2分）
    或作出推广：y=x2n+
    a
    x2n
    （x＞0，n∈N，常数a＞0）…（1分）
    在（0，
    (2•2n)a
    ]上是减函数，在[
    (2•2n)a
    ，+∞）上是增函数．…（2分）
    F（x）=(x2+
    1
    x
    )2    +(
    1
    x2
    +x)2
    =(x4+
    1
    x4
    )+(x2+
    1
    x2
    )+2(x+
    1
    x
    )
    [
    1
    2
    ，1]    上是减函数，在[1，2]上是增函数．…（2分）
    当x=1时，F（x）min=8；
    当x=
    1
    2
    或2时，F(x)max=
    405
    16
    ．…（3分）
    点评：本题的考点是函数与方程的综合运用，主要考查与基本不等式结合，研究函数的单调性，并做推广，从而研究函数的最值．
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    已知函数y=x+
    a
    x
    有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在（0，
    		a
    ]上是减函数，在[
    		a
    ，+∞）上是增函数．
    （Ⅰ）如果函数y=x+
    2b
    x
    （x＞0）的值域为[6，+∞），求b的值；
    （Ⅱ）研究函数y=x2+
    c
    x2
    （常数c＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；
    （Ⅲ）对函数y=x+
    a
    x
    和y=x2+
    a
    x2
    （常数a＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数F（x）=（x2+
    1
    x
    ）n+（
    1
    x2
    +x    ）n（n是正整数）在区间[
    1
    2
    ，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数y=x+
    a
    x
    旦（a＞0）有如下的性质：在区间（0，
    		a
    ]上单调递减，在[
    		a
    ，+∞）上单调递增．
    （1）如果函数f（x）=x+
    2b
    x
    在（0，4]上单调递减，在[4，+∞）上单调递增，求常数b的值．
    （2）设常数a∈[l，4]，求函数y=x+
    a
    x
    在x∈[l，2]的最大值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数y=x+
    a
    x
    有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在（0，
    		a
    上是减函数，在
    		a
    ，+∞）上是增函数．
    （1）如果函数y=x+
    2b
    x
    在（0，4）上是减函数，在（4，+∞）上是增函数，求实常数b的值；
    （2）设常数c∈1，4，求函数f（x）=x+
    c
    x
    （1≤x≤2）的最大值和最小值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数y=x+
    a
    x
    有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在(0，
    		a
    ]    上是减函数，在[
    		a
    ，+∞)    上是增函数，
    （1）如果函数y=x+
    3m
    x
    (x＞0)    的值域是[6，+∞），求实数m的值；
    （2）研究函数f(x)=x2+
    a
    x2
    （常数a＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；
    （3）若把函数f(x)=x2+
    a
    x2
    （常数a＞0）在[1，2]上的最小值记为g（a），求g（a）的表达式．

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