Question

已知函数y=x+

a

x

有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在（0，

a

]上是减函数，在[

a

，+∞）上是增函数．
（Ⅰ）如果函数y=x+

2b

x

（x＞0）的值域为[6，+∞），求b的值；
（Ⅱ）研究函数y=x²+

c

x2

（常数c＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；
（Ⅲ）对函数y=x+

a

x

和y=x²+

a

x2

（常数a＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数F（x）=（x²+

1

x

）ⁿ+（

1

x2

+x）ⁿ（n是正整数）在区间[

1

2

，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．

Answer 1

分析：（1）函数y=x+

2b

x

（x＞0）的最小值是2

2b

=6，由此可求出b的值．
（2）设0＜x₁＜x₂，y₂-y₁=

x

2 2

+

c

x 2 2

-

x

2 1

-

c

x 2 1

=(

x

2 2

-

x

2 1

)(1-

c

x 2 1 • x 2 2

)．由此入手经过讲座可知该函数在（-∞，-

4	c

]上是减函数，在[-

4	c

，0）上是增函数．
（3）可以把函数推广为y=xn+

a

xn

（常数a＞0），其中n是正整数．当n是奇数时，函数y=xn+

a

xn

在（0，

2n	a

]上是减函数，在[

2n	a

，+∞）上是增函数，在（-∞，-

2n	a

]上是增函数，在[-

2n	a

，0）上是减函数；当n是偶数时，函数y=xn+

a

xn

在（0，

2n	a

]上是减函数，在[

2n	a

，+∞）上是增函数，在（-∞，-

2n	a

]上是减函数，在[-

2n	a

，0）上是增函数．并且由函数的单调性可求出当x=1时F（x）取得最小值2ⁿ⁺¹．

解答：解：（1）函数y=x+

2b

x

（x＞0）的最小值是2

2b

，则2

2b

=6，
∴b=log₂9．
（2）设0＜x₁＜x₂，y₂-y₁=

x

2 2

+

c

x 2 2

-

x

2 1

-

c

x 2 1

=(

x

2 2

-

x

2 1

)(1-

c

x 2 1 • x 2 2

)．
当

4	c

＜x₁＜x₂时，y₂＞y₁，函数y=x2+

c

x2

在[

4	c

，+∞）上是增函数；
当0＜x₁＜x₂＜

4	c

时y₂＜y₁，函数y=x2+

c

x2

在（0，

4	c

]上是减函数．
又y=x2+

c

x2

是偶函数，于是，
该函数在（-∞，-

4	c

]上是减函数，在[-

4	c

，0）上是增函数；
（3）可以把函数推广为y=xn+

a

xn

（常数a＞0），其中n是正整数．
当n是奇数时，函数y=xn+

a

xn

在（0，

2n	a

]上是减函数，在[

2n	a

，+∞）上是增函数，
在（-∞，-

2n	a

]上是增函数，在[-

2n	a

，0）上是减函数；
当n是偶数时，函数y=xn+

a

xn

在（0，

2n	a

]上是减函数，在[

2n	a

，+∞）上是增函数，
在（-∞，-

2n	a

]上是减函数，在[-

2n	a

，0）上是增函数；
F（x）=(x2+

1

x

)n+(

1

x2

+x)n
=

C

0 n

(x2n+

1

x2n

)

+C

1 n

(x2n-2+

1

x2n-3

)+…+

C

r n

(x2n-3r+

1

x2n-3r

)+…+

C

n n

(xn+

1

xn

)，
因此F（x）在[

1

2

，1]上是减函数，在[1，2]上是增函数．
所以，当x=

1

2

或x=2时，F（x）取得最大值（

9

2

）ⁿ+（

9

4

）ⁿ；
当x=1时F（x）取得最小值2ⁿ⁺¹；

点评：本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．