Question

12．已知等差数列{a_n}的前n项和S_n满足 S₃=0，S₅=-5，
（1）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）令${b_n}=\frac{1}{{{a_{2n-1}}•{a_{2n+1}}}}（n∈{N^*}）$，求数列{b_n}的前n 项和T_n．

Answer 1

分析 （1）方法一：等差数列的前n项和公式可知：$\left\{\begin{array}{l}{3{a}_{1}+\frac{3×2}{2}=0}\\{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}=-5}\end{array}\right.$，即可求得a₁和d，根据等差数列的通项公式即可求得数列{a_n}的通项a_n；
方法二：根据等差数列前n项和的性质可知：S₃=3a₂=0，S₅=5a₃=-5，则d=a₃-a₂=-1，则a_n=a₂+（n-2）d；
（2）由（1）可知b_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-3}$-$\frac{1}{2n-1}$），采用“裂项法”即可求得T_n．

解答 解：（1）方法一：设等差数列{a_n}公差为d，
由等差数列的前n项和公式可知：$\left\{\begin{array}{l}{3{a}_{1}+\frac{3×2}{2}=0}\\{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}=-5}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=0}\\{{a}_{1}+2d=-1}\end{array}\right.$，解得a₁=1，d=-1，
则{a_n}的通项公式a_n=1-（n-1）=2-n；
方法二：由等差数列前n项和的性质可知：S₃=3a₂=0，则a₂=0，
S₅=5a₃=-5，则a₃=-1，
d=a₃-a₂=-1，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=a₂+（n-2）d=2-n；
（2）由（1）可知：b_n=$\frac{1}{{a}_{2n-1}•{a}_{2n+1}}$=$\frac{1}{（3-2n）（1-2n）}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n-3）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-3}$-$\frac{1}{2n-1}$），
数列{b_n}的前n 项和T_n=$\frac{1}{2}$（-1-1）+$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-3}$-$\frac{1}{2n-1}$），．
=$\frac{1}{2}$（-1-1+1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-3}$-$\frac{1}{2n-1}$），
=$\frac{1}{2}$（-1-$\frac{1}{2n-1}$），
=$\frac{n}{1-2n}$，
数列{b_n}的前n 项和T_n=$\frac{n}{1-2n}$．

点评 本题考查等差数列的性质及前n项和公式，考查“裂项法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．