Question

已知函数f（x）=|2^x-1|．
（1）叙述y=2^x的图象经过怎样的变换得到函数f（x）=|2^x-1|的图象？
（2）画出函数f（x）=|2^x-1|的图象；
（3）利用图象回答下列问题：
①指出单调区间，以及在每一个单调区间上，它是增函数还是减函数（不要求证明）；
②讨论方程|2^x-1|=k的根的情况（只需写出结果，不要解答过程）．

Answer 1

分析：（1）根据函数图象的平移变换法则，可先将y=2^x的图象向下平移一个单位得到y=2^x-1的图象，再根据函数图象的对折变换法则得到答案．
（2）结合（1）中图象变换方式，结合指数函数y=2^x的图象和性质，可得f（x）=|2^x-1|的图象；
（3）根据（2）中所得函数的图象，
①结合从左到右图象上升函数为增函数，图象下降函数为减函数，可判断函数的单调区间；
②分析函数图象与直线y=k交点个数，可判断不同情况下方程|2^x-1|=k的根的情况．

解答：解：（1）将y=2^x的图象向下平移一个单位得到y=2^x-1的图象，
再将y=2^x-1在x轴下方的图象沿着x轴翻折到x轴上方得到f（x）=|2^x-1|的图象…（4分）
（2）函数f（x）=|2^x-1|的图象，如下图所示：
…（7分）
（3）单增区间（0，+∞）；单减区间（-∞，0）；
当k＜0时，方程无解；
当k＞1或k=0时，方程一解；
当0＜k＜1时，方程两解．…（12分）

点评：本题考查的知识点是函数图象的作法，函数图象的平移变换及对折变换，函数单调性，函数的零点，熟练掌握指数函数的图象和性质及函数图象的变换法则，是解答的关键．