Question

不等式

(x3-4x2)2

 +x²-ax+16≥0对x＞0恒成立，则实数a的范围是

 

．

Answer 1

分析：首先对根式进行化简，分离出参数a，要把x除到另一边，所以把x=0列为一类，当x≠0时，可以分离出参数a，下一步求右边式子的最小值，这个式子含有绝对值，所以要分两类来讨论，分类点是X=4，这个式子所对应的函数我们没有学习过，要求最小值，需要知道单调性，我们选择用导数来求，在0＜x＜4时，f′（x）的正负不易判断，所以把它的分子看作一个新的函数，求其最值．

解答：解：∵

(x3-4x2)2

=|x³-4x²|=x²|x-4|，
∴ax≤x²|x-4|+x²+16
（1）x=0时，0≤16恒成立．
（2）x＞0时，a≤x|x-4|+x+

16

x

，f（x）=x|x-4|+x+

16

x

．
①x≥4时，f（x）=x²-3x+

16

x

，f′（x）=2x-3-

16

x2

＞0，f（x）在[4，+∞）是增函数，f（x）最小值为f（4）=8．
②0＜x＜4时，f（x）=-x²+5x+

16

x

，f′（x）=

-2x3+5x2-16

x2

；设g（x）=-2x³+5x²-16，g′（x）=-2x（3x-5）
 令 g′（x）＞得0＜x＜

5

3

，令 g′（x）＜0得

5

3

＜x＜4
∴g（x）在（0，

5

3

）上是增函数，在（

5

3

，4）是减函数，
∴g（x）在（0，4）上的最大值为-2×(

5

3

)3+5×(

5

3

)2-16＜0，又∵x²＞0，∴f′（x）＜0
∴f（x）在（0，4）上是减函数，∴f（x）＞f（4）=8．
由 （1）（2）知f（x）最小值为f（4）=8
∴实数a的范围是a≤8．
故答案为a≤8．

点评：此题考查了导数的正负与单调性的关系，难度较大，分类讨论中，求一个函数的单调性，为判断导数的正负，将其中分子作为函数求其最大值，计算量大．