Question

△ABC中，=（sinA，cosC），=（cosB，sinA），•=sinB+sinC．
（1）求证：△ABC为直角三角形；
（2）若△ABC外接圆半径为1，求△ABC的周长的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用向量的数量积，结合正、余弦定理转化为边之间的关系，即可证得△ABC为直角三角形；
（2）设△ABC内角A、B、C所对边的边长分别是a、b、c，根据△ABC外接圆半径为1，A=，可得a=2，从而b+c=2（sinB+cosB）=2•sin（B+），故可求b+c的取值范围，从而可求△ABC周长的取值范围．
解答：（1）证明：∵=（sinA，cosC），=（cosB，sinA），•=sinB+sinC，
∴sinAcosB+sinAcosC=sinB+sinC．
∴由正弦定理得：acosB+acosC=b+c
由余弦定理得a•+a•=b+c，
整理得（b+c）（a²-b²-c²）=0．
∵b+c＞0，
∴a²=b²+c²，故△ABC为直角三角形．
（2）解：设△ABC内角A、B、C所对边的边长分别是a、b、c．
∵△ABC外接圆半径为1，A=，∴a=2，
∴b+c=2（sinB+cosB）=2•sin（B+）．
∵0＜B＜，∴＜B+＜，
∴2＜b+c≤2，∴4＜a+b+c≤2+2，
故△ABC周长的取值范围为（4，2+2]．
点评：本题考查向量的数量积，考查正、余弦定理的运用，考查三角函数的性质，正确运用正、余弦定理是解题的关键．