Question

定义在（-1，1）上的函数f（x）满足：①对任意x，y∈（-1，1）都有f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)；②当x∈（-1，0）时，f（x）＞0．
（Ⅰ）判断f（x）在（-1，1）上的奇偶性，并说明理由；
（Ⅱ）判断函数f（x）在（0，1）上的单调性，并说明理由；
（Ⅲ）若

f(

1

5

) =-

1

2

，试求f(

1

2

)-f(

1

11

)-f(

1

19

)的值．

Answer 1

分析：（1）判断函数f（x）的奇偶性：①判断函数定义域是否关于原点对称，②判断f（-x）与f（x）的关系．
（2）证明函数f（x）的单调性，利用定义，分五步①设元，②作差，③变形，④判号，⑤下结论．
（3）利用题中所给的等式，把要求的已知的相结合，逐步求出要求的值．

解答：解：（Ⅰ）令x=y=0⇒f（0）=0．
令y=-x，则f（x）+f（-x）=0⇒f（-x）=-f（x）⇒f（x）在（-1，1）上是奇函数．
（Ⅱ）设0＜x₁＜x₂＜1，则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(

x1-x2

1-x1x2

)，
而x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜1⇒

x1-x2

1-x1x2

＜0．
∴f(

x1-x2

1-x1x2

)＞0．即　当x₁＜x₂时，f（x₁）＞f（x₂）．
∴f（x）在（0，1 ）上单调递减．
（Ⅲ）由于f(

1

2

)-f(

1

5

)=f(

1

2

)+f(-

1

5

)=f(

1 2 - 1 5

1- 1 2×5

)=f(

1

3

)，
f(

1

3

)-f(

1

11

)=f(

1

4

)，f(

1

4

)-f(

1

19

)=f(

1

5

)，
∴f(

1

2

) -f(

1

11

) -f(

1

19

) =2f(

1

5

) =-1．

点评：本题考查了抽象函数的奇偶性，单调性，与具体函数的证明方法相同，做题一定要抓牢定义，特别是证明题，一切方法源根本，属中档题．