Question

已知两圆C₁：x²+y²-2x=0，C₂：（x+1）²+y²=4的圆心分别为C₁，C₂，P为一个动点，且|PC₁|+|PC₂|=2．
（1）求动点P的轨迹M的方程；
（2）是否存在过点A（2，0）的直线l与轨迹M交于不同的两点C、D，使得|C₁C|=|C₁D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）两圆的圆心坐标分别为C₁（1，0），C₂（-1，0），
∵|PC₁|+|PC₂|=2＞2=|C₁C₂|，
∴根据椭圆的定义可知，动点P的轨迹为以原点为中心，C₁（1，0）和C₂（-1，0）为焦点，长轴长为2a=的椭圆，
所以a=，c=1，b===1，
∴椭圆的方程为，即动点P的轨迹M的方程为；
（2）假设存在这样的直线l满足条件，
当直线l的斜率不存在时，易知点A（2，0）在椭圆M的外部，直线l与椭圆M无交点，所以直线l不存在．
当直线l斜率存在时，设斜率为k，则直线l的方程为y=k（x-2），
由方程组得（2k²+1）x²-8k²x+8k²-2=0①，
依题意△=（-8k²）²-4（2k²+1）（8k²-2）＞0，即-2k²+1＞0，解得-＜k＜，
当-＜k＜时，设交点C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），CD的中点为N（x₀，y₀），
方程①的解为，，则=，
∴y₀=k（x₀-2）=k（-2）=，
要使|C₁C|=|C₁D|，必须有C₁N⊥l，即k=-1，
∴k=-1，化简得0=-1，显然不成立；
所以不存在直线l，使得|C₁C|=|C₁D|，
综上所述，不存在直线l，使得|C₁C|=|C₁D|；
分析：（1）写出两圆的圆心坐标，根据∵|PC₁|+|PC₂|=2＞2=|C₁C₂|可知动点P的轨迹是以C₁和C₂为焦点、长轴长为2a=的椭圆，从而易求椭圆方程即所求轨迹方程；
（2）当斜率不存在时容易判断，当存在斜率时，设直线l的方程为y=k（x-2），联立直线l方程与椭圆方程消掉y得x的二次方程，则有△＞0，设交点C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），CD的中点为N（x₀，y₀），求出二次方程的两解，从而可得线段CD中点N的横坐标，代入直线方程可得纵坐标，要使|C₁C|=|C₁D|，必须有C₁N⊥l，即k=-1，解出方程的解k，再检验是否满足△＞0即可；
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、圆的方程，考查存在性问题，存在性问题往往先假设存在，然后以此为条件进行推理论证，检验是否矛盾．