Question

16．设x₁，x₂是方程2x²-6x+3=0的两个根，不解方程，求下列各式的值
（1）（x₁-3）（x₂-3）；
（2）$\frac{1}{{x}_{1}^{2}}$+$\frac{1}{{x}_{2}^{2}}$；
（3）x${\;}_{1}^{3}$+x${\;}_{2}^{3}$．

Answer 1

分析 由韦达定理得x₁+x₂=3，x₁x₂=$\frac{3}{2}$，
（1）由（x₁-3）（x₂-3）=x₁x₂-3（x₁+x₂）+9，能求出结果．
（2）由$\frac{1}{{x}_{1}^{2}}$+$\frac{1}{{x}_{2}^{2}}$=$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}{{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{{x}_{1}{x}_{2}}^{\;}}{{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}}$，能求出结果．
（3）由x${\;}_{1}^{3}$+x${\;}_{2}^{3}$=（x₁+x₂）（${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}-{x}_{1}{x}_{2}$），能求出结果．

解答 解：∵x₁，x₂是方程2x²-6x+3=0的两个根，
∴x₁+x₂=3，x₁x₂=$\frac{3}{2}$，
（1）（x₁-3）（x₂-3）=x₁x₂-3（x₁+x₂）+9=$\frac{3}{2}-9+9$=$\frac{3}{2}$．
（2）$\frac{1}{{x}_{1}^{2}}$+$\frac{1}{{x}_{2}^{2}}$=$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}{{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{{x}_{1}{x}_{2}}^{\;}}{{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}}$
=$\frac{9-3}{\frac{9}{4}}$=$\frac{8}{3}$．
（3）x${\;}_{1}^{3}$+x${\;}_{2}^{3}$=（x₁+x₂）（${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}-{x}_{1}{x}_{2}$）]
=3[（x₁+x₂）²-3x₁x₂）
=3（9-$\frac{9}{2}$）
=$\frac{27}{2}$．

点评 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意韦达定理的合理运用．