Question

在△PAB中，已知、，动点P满足|PA|=|PB|+4．
（I）求动点P的轨迹方程；
（II）设M（-2，0），N（2，0），过点N作直线l垂直于AB，且l与直线MP交于点Q，，试在x轴上确定一点T，使得PN⊥QT；
（III）在（II）的条件下，设点Q关于x轴的对称点为R，求的值．

Answer 1

解：（I）∵|PA|-|PB|=4＜|AB|，∴动点P的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支除去其与x轴的交点．
设双曲线方程为．
由已知，得解得
∴．
∴动点P的轨迹方程为．
（5）由题意，直线MP（6）的斜率存在且不为0，设直线l的方程x=2．
设MP的方程为y=k（x+2）．
∵点Q是l与直线MP的交点，∴Q（2，4k）．设P（x₀，y₀）
由整理得（1-2k²）x²-8k²x-（8k²+4）=0．
则此方程必有两个不等实根x₁=-2，x₂=x₀＞2∴1-2k²≠0．，且．
∴．∴．
设T（t，0），要使得PN⊥QT，只需
由N（2，0），，
∴
∵k≠0，∴t=4．此时
∴所求T的坐标为（4，0）．
（III）由（II）知R（2，-4k），∴=，．
∴．
∴．
说明其他正确解法按相应步骤给分．
（I）由题意可得，动点P的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支除去其与x轴的交点．下面结合待定系数法求出双曲线方程即可；
（II）由题意，直线MP（6）的斜率存在且不为0，设直线l的方程x=2．设MP的方程为y=k（x+2），将直线的方程代入双曲线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用垂直条件即可求得所求T的坐标；
（III）由（II）知R（2，-4k），利用k表示出向量，最后结合向量的数量积求出结果即得．
点评：直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．