Question

【题目】已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）的左顶点为（﹣2，0），离心率为 ．

（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线l过点S（4，0），与椭圆C交于P，Q两点，点P关于x轴的对称点为P′，P′与Q两点的连线交x轴于点T，当△PQT的面积最大时，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可得 ，可得c=1，b= = ．

即有椭圆的方程为 + =1；

（2）解：设直线l的方程为x=my+4，P（x1，y1），Q（x2，y2），则P'（x1，﹣y1），

联立 得（4+3m2）y2+24my+36=0，

则△=（24m）2﹣144（4+3m2）=144（m2﹣4）＞0，即m2＞4．

又y1+y2=﹣ ，y1y2= ，

直线PQ的方程为y= （x﹣x1）﹣y1

则xT= =

= = +4=1，

则T（1，0），故|ST|=3

所以S△PQT=S△SQT﹣S△SPT= |y1﹣y2|= = ，

令t= ＞0，

则S△PQT= = ≤ = ，

当且仅当t2= 即m2= 即m=± 时取到“=”，

故所求直线l的方程为x=± y+4．

【解析】（1）运用椭圆的离心率公式和顶点坐标，以及a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆方程；（2）设直线l的方程为x=my+4，P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），则P'（x1 ， ﹣y1），联立直线和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，求得直线PQ的方程，令y=0，可得T的横坐标，化简可得T（1，0），由S△PQT=S△SQT﹣S△SPT= |y1﹣y2|，运用韦达定理，由换元法化简整理运用基本不等式可得最大值，以及此时直线的方程．
【考点精析】本题主要考查了椭圆的标准方程的相关知识点，需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：才能正确解答此题．