Question

12．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{x}，x＞0}\\{-{x}^{2}-2x，x≤0}\end{array}\right.$．若函数g（x）=f（x）-m有3个零点，则实数m的取值范围是（0，1）．

Answer 1

分析 作出函数f（x）的图象，由g（x）=0，可得f（x）=m，然后结合图象进行求解即可得到m的范围．

解答 解：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{x}，x＞0}\\{-{x}^{2}-2x，x≤0}\end{array}\right.$
=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{-x}，x＞0}\\{-（x+1）^{2}+1，x≤0}\end{array}\right.$，
画出函数f（x）的图象为：
又函数g（x）=f（x）-m有3个零点，
知方程f（x）=m有三个不等的实数解，
由图象可得实数m的取值范围是（0，1）．
故答案为：（0，1）．

点评 本题考查函数的零点及其应用，解题时要注意数形结合思想的合理运用．