Question

1．求非零常数a，b，使得$\underset{lim}{x→0}$$\frac{2arctanx-ln\frac{1+x}{1-x}}{{x}^{a}}$=b．

Answer 1

分析 经分析，该极限是“$\frac{0}{0}$”型极限，所以运用“洛必达”法则求解，即：$\underset{lim}{x→0}$$\frac{f（x）}{g（x）}$=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{f'（x）}{g'（x）}$=b．

解答 解：当x→0时，arctanx→0，ln$\frac{1+x}{1-x}$→0，
所以，该极限是“$\frac{0}{0}$”型极限，故用“洛必达”法则求解，
记f（x）=2arctanx-ln$\frac{1+x}{1-x}$，g（x）=x^a，
则f'（x）=2×$\frac{1}{1+x^2}$-2×$\frac{1}{1-x^2}$=-$\frac{4x^2}{1-x^4}$，
而g'（x）=a•x^a-1，
由于$\underset{lim}{x→0}$$\frac{f（x）}{g（x）}$=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{f'（x）}{g'（x）}$=b（b≠0），
要使上式成立，则g'（x）的次数与f'（x）分子的次数一致，
即a-1=2，解得a=3，
此时，原式=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{f'（x）}{g'（x）}$=$\underset{lim}{x→0}$[-$\frac{4}{3（1-x^4）}$]=-$\frac{4}{3}$，
故a=3，b=-$\frac{4}{3}$．

点评 本题主要考查了极限的求解，涉及洛必达法则的应用，导数的运算，分式极限的特征，属于难题．