Question

11．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{3}{2}$x²+2x；
（1）求f（x）的单调区间和极值：
（2）求f（x）在[0，2]上的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）求导f′（x）=x²-3x+2=（x-1）（x-2），从而判断导数的正负以确定函数的单调性及极值；
（2）由（1）知，f（x）在[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，从而求最值．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{3}{2}$x²+2x，
∴f′（x）=x²-3x+2=（x-1）（x-2），
∴当x∈（-∞，1）∪（2，+∞）时，f′（x）＞0；
当x∈（1，2）时，f′（x）＜0；
故f（x）的单调增区间为（-∞，1），（2，+∞）；单调减区间为[1，2]；
故f（x）在x=1处有极大值为f（1）=$\frac{1}{3}$-$\frac{3}{2}$+2=$\frac{5}{6}$，
在x=2处有极小值为f（2）=$\frac{1}{3}$×8-$\frac{3}{2}$×4+2×2=$\frac{2}{3}$；
（2）由（1）知，f（x）在[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，
且f（0）=0，f（1）=$\frac{5}{6}$，f（2）=$\frac{2}{3}$；
故f（x）在[0，2]上的最大值为$\frac{5}{6}$，最小值为0．

点评 本题考查了导数的综合应用及在闭区间上的最值问题．