Question

6．已知一条曲线C在y轴右侧，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都是1．
（1）求曲线C的方程；
（2）已知点P是曲线C上一个动点，点Q是直线x+2y+5=0上一个动点，求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析 （1）设出曲线上动点P的坐标，由题意列等式，化简得答案；
（2）求出与直线x+2y+5=0平行，且与抛物线相切的直线方程，由两平行线间的距离公式得答案．

解答 解：（1）设P（x，y）是曲线C上任意一点，
那么点P（x，y）满足$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}-x=1（x＞0）$，
化简得y²=4x（x＞0）；
（2）如图，设与直线x+2y+5=0平行且与曲线y²=4x（x＞0）相切的直线方程为x+2y+m=0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x+2y+m=0}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得y²+8y+4m=0．
由△=8²-16m=0，得m=4．
∴切线方程为x+2y+4=0．
则两平行线x+2y+5=0与x+2y+4=0间的距离即为|PQ|的最小值，等于$\frac{|5-4|}{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查轨迹方程的求法，训练了求两曲线上动点间距离的最小值的求法，体现了数学转化思想方法，是中档题．