Question

3．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{e}^{x}-2a（x+1），x≥0\\ x+acosx，x＜0\end{array}\right.（a∈R）$，若其在定义域内是单调函数，则实数a的取值范围是$[-1，\frac{1}{3}]$．

Answer 1

分析 若函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{e}^{x}-2a（x+1），x≥0\\ x+acosx，x＜0\end{array}\right.（a∈R）$，若其在定义域内是单调函数，则f′（x）=$\left\{\begin{array}{l}{e}^{x}-2a，x≥0\\ 1-asinx，x＜0\end{array}\right.$满足f′（x）≥0恒成立，且分段处左段函数值不大于右段函数值，解得答案．

解答 解：∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{e}^{x}-2a（x+1），x≥0\\ x+acosx，x＜0\end{array}\right.（a∈R）$，若其在定义域内是单调函数，
∴f′（x）=$\left\{\begin{array}{l}{e}^{x}-2a，x≥0\\ 1-asinx，x＜0\end{array}\right.$满足f′（x）≥0恒成立，且分段处左段函数值不大于右段函数值；
∴$\left\{\begin{array}{l}2a≤1\\ \left|a\right|≤1\\ 1-2a≥a\end{array}\right.$，
解得：a∈$[-1，\frac{1}{3}]$，
故答案为：$[-1，\frac{1}{3}]$

点评 本题考查的知识点是分段函数的单调性，正确理解分段函数单调性的意义，是解答的关键．