Question

18．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的左、右端点分别为A，B，P是椭圆E上异于A，B的任意一点，直线AP，BP分别交y轴于M，N．若O为原点，求$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$ 的值．

Answer 1

分析 设出P点坐标，代入椭圆方程，求出直线PA和PB的方程，取x=0求得M，N的坐标，得到向量$\overrightarrow{OM}$，$\overrightarrow{ON}$的坐标，代入数量积公式可得$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$．

解答 解：设P（x₀，y₀），则
∵A（-3，0），B（3，0），
又直线PA：y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+3}$（x+3），直线PB：y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-3}$（x-3），
令x=0，得：$\overrightarrow{OM}$=（0，$\frac{3{y}_{0}}{{x}_{0}+3}$），$\overrightarrow{ON}$=（0，$\frac{-3{y}_{0}}{{x}_{0}-3}$），
故$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=$\frac{-9{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-9}$=5．

点评 本题考查了椭圆方程的运用，考查了平面向量的数量积运算，是中档题．