Question

已知向量

OA

=(cosα，sinα)（α∈[-π，0]）．向量m=（2，1），n=(0，-

5

)，且m⊥(

OA

-n）．
（Ⅰ）求向量

OA

；
（Ⅱ）若cos(β-π)=

2

10

，0＜β＜π，求cos（2α-β）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据已知，把

OA

=(cosα，sinα)，代入

m

⊥(

OA

-

n

)中，然后再根据sin²α+cos²α=1联立即可求出结果．
（Ⅱ）根据cos(β-π)=

2

10

，分别求出sinβ，cosβ的值，然后根据两角和差的余弦公式，求出cos（2α-β）．

解答：解：（Ⅰ）∵

OA

=(cosα，sinα)，
∴

OA

-

n

=(cosα，sinα+

5

)，
∵

m

⊥(

OA

-

n

)，∴

m

•(

OA

-

n

)=0，
即2cosα+(sinα+

5

)=0           ①
又sin²α+cos²α=1                      ②
由①②联立方程解得，
cosα=-

2 5

5

，sinα=-

5

5

．
∴

OA

=(-

2 5

5

，-

5

5

)

（Ⅱ）∵cos(β-π)=

2

10

即cosβ=-

2

10

，0＜β＜π，
∴sinβ=

7 2

10

，

π

2

＜β＜π
又∵sin2α=2sinαcosα=2×(-

5

5

)×(-

2 5

5

)=

4

5

，
cos2α=2cos2α-1=2×

4

5

-1=

3

5

，
∴cos(2α-β)=cos2αcosβ+sin2αsinβ=

3

5

×(-

2

10

)+

4

5

×

7 2

10

=

25 2

50

=

2

2

．

点评：本题考查三角函数的基本关系，诱导公式，以及两角和差的正弦余弦公式的利用，其中涉及到向量的垂直关系．属于中档题．