Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，前n项和为S_n且Sn+1=

3

2

Sn+1，(n∈N*)
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{

1

an

}的前n项和为T_n，求满足不等式3T_n＞S_n的n值．

Answer 1

分析：（1）根据已知条件得到Sn的通项公式，再根据a_n=S_n-S_n-1得到{a_n}的通项公式；
（2）写出{

1

an

}的通项公式，求出Tn，直接解不等式．

解答：解：（1）解法1：由Sn+1=

3

2

Sn+1得当n≥2时Sn=

3

2

Sn-1+1，
∴Sn+1-Sn=

3

2

(Sn-Sn-1)即an+1=

3

2

an∴

an+1

an

=

3

2

，
又a₁=1，得S2=

3

2

a1+1=a1+a2∴a2=

3

2

∴

a2

a1

=

3

2

，
∴数列a_n是首项为1，公比为

3

2

的等比数列∴an=(

3

2

)n-1，
解法2：由Sn+1=

3

2

Sn+1得Sn+1+2=

3

2

(Sn+2)，
即

Sn+1+2

Sn+2

=

3

2

∴数列S_n+2是首项为S₁+2=3，公比为

3

2

的等比数列，
∴Sn+2=3•(

3

2

)n-1即Sn=3•(

3

2

)n-1-2，
当n≥2时∴a_n=S_n-S_n-1=3•(

3

2

)n-1-2-[3•(

3

2

)n-2-2]=(

3

2

)n-1，
显然当n=1时上式也成立∴an=(

3

2

)n-1．
（2）∵z数列a_n是首项为1，公比为

3

2

的等比数列，
∴数列{

1

an

}是首项为1，公比为

2

3

的等比数列--（8分）∴Tn=

1-( 2 3 )n

1- 2 3

=3[1-(

2

3

)n]，
又∵Sn=2•(

3

2

)n-2∴不等式3T_n＞S_n即9[1-(

2

3

)n]＞2•(

3

2

)n-2
令(

2

3

)n=m并整理得9m²-11m+2＜0，解得

2

9

＜m＜1
即

2

9

＜(

2

3

)n＜1，将n=1，2，3代入都符合，又(

2

3

)4=

16

81

＜

2

9

且函数y=(

2

3

)x在R上为减函数，故当n≥4时都有(

2

3

)n＜

2

9

∴满足不等式3T_n＞S_n的n值为：1，2，3．

点评：本题考查了数列的通项公式的求法以及数列的求和，还考查了不等式的解法，属于综合题型．