Question

设函数.

（1）当，时，求函数的最大值；

（2）令，其图象上存在一点，使此处切线的斜率，求实数的取值范围；

（3）当，时，方程有唯一实数解，求正数的值.

 

Answer 1

【答案】

（1）函数的最大值为；（2）实数的取值范围是；（3）.

【解析】

试题分析：（1）将，代入函数的解析式，然后利用导数求出函数的最大值；（2）先确定函数的解析式，并求出函数的导数，然后利用导数的几何意义将问题转化为，利用恒成立的思想进行求解；（3）方法一是利用参数分离，将问题转化为方程、有且仅有一个实根，然后构造新函数，利用导数求出函数的极值从而求出参数的值；方法二是直接构造新函数，利用导数求函数的极值，并对参数的取值进行分类讨论，从而求出参数的值.

试题解析：（1）依题意，的定义域为，

当，时，，，

由 ，得，解得；

由 ，得，解得或.

，在单调递增，在单调递减；

所以的极大值为，此即为最大值；

（2），，则有在上有解，

∴，

，

所以当时，取得最小值，；

（3）方法1：由得，令，，

令，，∴在单调递增，

而，∴在，，即，在，，即，

∴在单调递减，在单调递增，

∴极小值为，令，即时方程有唯一实数解.

方法2：因为方程有唯一实数解，所以有唯一实数解，

设，则，令，

因为，，所以（舍去），，

当时，，在上单调递减，

当时，，在上单调递增，

当时，取最小值.

若方程有唯一实数解，

则必有 即 

所以，因为所以              12分

设函数，因为当时，是增函数，所以至多有一解.

∵，∴方程(*)的解为，即，解得.

考点：1.利用导数求函数的最值；2.函数不等式恒成立；3.参数分离法；4.分类讨论法；4.函数的零点