Question

已知x、y∈R⁺，且4x+y=1，求

1

x

+

9

y

的最小值．某同学做如下解答：
因为 x、y∈R⁺，所以1=4x+y≥2

4xy

…①，

1

x

+

9

y

≥2

9 xy

…②，
①×②得 

1

x

+

9

y

≥2

4xy

•2

9 xy

=24，所以 

1

x

+

9

y

的最小值为24．
判断该同学解答是否正确，若不正确，请在以下空格内填写正确的最小值；若正确，请在以下空格内填写取得最小值时x、y的值

 

．

Answer 1

分析：其解答不正确．其问题在：①等号成立的充要条件是4x=y=

1

2

；②等号成立的充要条件是y=9x，因此两个等号成立的条件不一样，即不能同时成立，故其最小值不是24．利用“乘1法”和基本不等式即可得出．

解答：解：其解答不正确．
因为 x、y∈R⁺，所以1=4x+y≥2

4xy

…①，

1

x

+

9

y

≥2

9 xy

…②，
①×②得 

1

x

+

9

y

≥2

4xy

•2

9 xy

=24，所以 

1

x

+

9

y

的最小值为24．
其问题在：①等号成立的充要条件是4x=y=

1

2

；②等号成立的充要条件是y=9x，因此两个等号成立的条件不一样，即不能同时成立，故其最小值不是24．
其正确解答如下：∵x、y∈R⁺，且4x+y=1，
∴

1

x

+

9

y

=(4x+y)(

1

x

+

9

y

)=13+

y

x

+

36x

y

≥13+2

y x • 36x y

=25，当且仅当y=6x=

3

5

时取等号．
因此

1

x

+

9

y

的最小值为25．
故答案为：25．

点评：本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质，属于中档题．