Question

7．关于x的方程x²+（a+1）x+a+b+1=0（a≠0，a、b∈R）的两实根为x₁，x₂，若0＜x₁＜1＜x₂＜2，则$\frac{b}{a}$的取值范围是（-$\frac{5}{4}$，-$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 先利用二次方程根的分布得出关于a，b的约束条件，再根据约束条件画出可行域，设z=$\frac{b}{a}$，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线OP过可行域内的点A或点C时，z分别、取得最大或最小，从而得到$\frac{b}{a}$的取值范围即可．

解答 解：设f（x）=x²+（a+1）x+a+b+1，则由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=2a+b+3＜0}\\{f（0）=a+b+1＞0}\\{f（2）=3a+b+7＞0}\end{array}\right.$，
作出点（a，b）满足的可行域为△ABC的内部，
其中点A（-2，1）、B（-3，2）、C（-4，5），
而式子$\frac{b}{a}$的几何意义是△ABC内部任一点（a，b）与原点O连线的斜率，
而K_OA=-$\frac{1}{2}$，K_OB=-$\frac{2}{3}$，K_OC=-$\frac{5}{4}$，
作图，易知$\frac{b}{a}$∈$（-\frac{5}{4}，-\frac{1}{2}）$，
故答案为：（-$\frac{5}{4}$，-$\frac{1}{2}$）．

点评 本小题是一道以二次方程的根的分布为载体的线性规划问题，考查化归转化和数形结合的思想，能力要求较高，属于中档题．