Question

定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：对任意的x，y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y）-1，且当0＜x＜1时，都有f（x）＞1成立．
（1）判断并证明f（x）在定义域（0，+∞）上的单调性；
（2）若f（9）=7，解不等式：f（x²+2x）＞4

Answer 1

分析：（1）抽象函数的单调性的证明，需要特别的构造方法，本题中的特点是含有f（xy），因此在设出0＜x₁＜x₂之后想到
构造出：0＜

x1

x2

＜1，可应用已知得到f(

x1

x2

)＞1，下面的证明过程就很自然了．
对于（2）的抽象不等式的解法，是想法脱去函数符号“f”，而利用（1）的结论很容易做到，转化得出一个不等式，进而解之即可．

解答：解：（1）函数f（x）在定义域（0，+∞）上是一个减函数．证明如下：
     设0＜x₁＜x₂，则 0＜

x1

x2

＜1，于是有：f(

x1

x2

)＞1
      f（x₁）=f(x2•

x1

x2

)=f（x₂）+f(

x1

x2

)-1＞f（x₂）+1-1=f（x₂）
      即：f（x₁）＞f（x₂）．
      由函数的单调性定义可知：函数f（x）在定义域（0，+∞）上是一个减函数．
（2）由已知，f（3×3）=f（3）+f（3）-1=7，即得：f（3）=4，因此有
     f（x²+2x）＞4=f（3），又有（1）的结论以及函数f（x）的定义域为（0，+∞），得不等式组：
    

x2+2x＞0 3＞0 x2+2x ＜3

，解得：-3＜x＜-2或0＜x＜1
所以：（1）数f（x）在定义域（0，+∞）上是一个减函数
          （2）不等式f（x²+2x）＞4的解集为：{x|-3＜x＜-2或0＜x＜1}

点评：本题考查抽象函数的概念及其应用，抽象函数单调性的证明，抽象函数不等式的解集的求法．
考查了构造函数以及函数值的赋值法即函数特值的应用技巧．