Question

【题目】已知函数f（x）=xe2x﹣lnx﹣ax．
（1）当a=0时，求函数f（x）在[ ，1]上的最小值；
（2）若x＞0，不等式f（x）≥1恒成立，求a的取值范围；
（3）若x＞0，不等式f（ ）﹣1≥ e + 恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=0时，f（x）=xe2x﹣lnx，

∴ ， ，

∴函数f′（x）在（0，+∞）上是增函数，

又函数f′（x）的值域为R，

故x0＞0，使得f′（x0）=（2x0+1）e ﹣ =0，

又∵ ，∴ ，∴当x∈[ ]时，f′（x）＞0，

即函数f（x）在区间[ ，1]上递增，∴

（2）解： ，

由（1）知函数f′（x）在（0，+∞）上是增函数，且x0＞0，使得f′（x0）=0，

进而函数f（x）在区间（0，x0）上递减，在（x0，+∞）上递增，

﹣lnx0﹣ax0，

由f′（x0）=0，得：（2x0+1）e ﹣ ﹣a=0，

∴ ，∴f（x0）=1﹣lnx0﹣2x02 ，

∵x＞0，不等式f（x）≥1恒成立，

∴1﹣lnx0﹣2x02e ≥1，∴lnx0+2x02 ≤0，

设h（x0）=lnx0+2x e ，则h（x0）为增函数，且有唯一零点，设为t，

则h（t）=lnt+2t2e2t=0，则﹣lnt=2t2e2t，即 ，

令g（x）=xex，则g（x）单调递增，且g（2t）=g（ ），

则2t=ln ，即 ，

∵a=（2x0+1） ﹣ 在（0，t]为增函数，

则当x0=t时，a有最大值， = ，

∴a≤2，∴a的取值范围是（﹣∞，2]

（3）解：由f（ ）﹣1≥ ，

得 ，

∴xlnx﹣x﹣a≥ ，∴a 对任意x＞0成立，

令函数g（x）=xlnx﹣x﹣ ，∴ ，

当x＞1时，g′（x）＞0，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，

∴当x=1时，函数g（x）取得最小值g（1）=﹣1﹣ =﹣1﹣ ，

∴a≤﹣1﹣ ．

∴a的取值范围是（﹣∞，﹣1﹣ ）

【解析】（1）a=0时， ， ，由此利用导数性质能求出函数f（x）在[ ，1]上的最小值．

（2） ，函数f（x）在区间（0，x0）上递减，在（x0，+∞）上递增，由x＞0，不等式f（x）≥1恒成立，得lnx0+2x02 ≤0，由此能求出a的取值范围．

（3）由f（ ）﹣1≥ ，得a 对任意x＞0成立，令函数g（x）=xlnx﹣x﹣ ，则 ，由此利用导数性质能求出a的取值范围．

【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．