Question

已知方程x²+y²-4x+2my+2m²-2m+1=0表示圆C．
（Ⅰ）求实数m的取值范围；
（Ⅱ）在已知方程表示的所有圆中，能否找到圆C₁，使得圆C₁经过点P（2，1），Q（4，-1）两点，且与圆x²+y²-4x-5=0相切？说出理由．

Answer 1

分析：（I）将圆C方程化成标准形式得（x-2）²+（y+m）²=-m²+2m+3，因此若方程表示圆则-m²+2m+3＞0，解之得即可得到实数m的取值范围；
（II）将点P、Q的坐标代入圆C的方程解出m=1，从而得到圆心C₁（2，-1）且径R₁=2．算出圆x²+y²-4x-5=0的圆心为C₂（2，0）且半径R₂=3，算得|C₁C₂|=1=R₂-R₁，故圆C₁与圆C₂相内切，因此可得存在满足条件的圆C₁．

解答：解：（I）将方程x²+y²-4x+2my+2m²-2m+1=0化成标准形式，得
（x-2）²+（y+m）²=-m²+2m+3
∵方程x²+y²-4x+2my+2m²-2m+1=0表示圆C．
∴-m²+2m+3＞0，解之得-1＜m＜3
（II）若点P、Q在圆C上，则

22+12-4×2+2m+2m2-2m+1=0 42+(-1)2-4×4-2m+2m 2-2m+1=0

，解之得m=1
∴圆C的标准方程为（x-2）²+（y+1）²=4
圆心为C₁（2，-1），半径R₁=2
又∵圆C₂：x²+y²-4x-5=0的圆心为C₂（2，0），半径R₂=3，圆心距|CC₂|=1
∴圆心距|C₁C₂|=1=R₂-R₁，故圆C₁与圆C₂相内切
因此存在点C₁（2，-1），使圆C₁与圆x²+y²-4x-5=0相切．

点评：本题给出含有参数m的圆方程，求参数m的取值范围并探索与已知圆相切的圆是否存在．着重考查了圆的标准方程和圆与圆的位置关系等知识，属于中档题．