Question

已知命题：p：f（x-1）是奇函数；q：f（

1

2

）＞

1

2

．下列函数：
①f（x）=

2

x+1

，
②f（x）=cos

πx

2

，
③f（x）=2^x-1
中能使p，q都成立的是

①②

．（写出符合要求的所有函数的序号）．

Answer 1

分析：①由f（x）=

2

x+1

，知命题：p：f（x-1）是奇函数，命题q：f（

1

2

）＞

1

2

都成立；
②由f（x）=cos

πx

2

，知命题：p：f（x-1）是奇函数，命题q：f（

1

2

）＞

1

2

都成立；
③由f（x）=2^x-1，知命题：p：f（x-1）是奇函数，命题q：f（

1

2

）＞

1

2

都不成立．

解答：解：①∵f（x）=

2

x+1

，
∴f（x-1）=

2

x-1+1

=

2

x

是奇函数，
f（

1

2

）=

2

1 2 +1

=

4

3

＞

1

2

，
∴命题：p：f（x-1）是奇函数，命题q：f（

1

2

）＞

1

2

都成立；
②∵f（x）=cos

πx

2

，
∴f（x-1）=cos

π(x-1)

2

=sin

π

2

x是奇函数，
f（

1

2

）=cos

π× 1 2

1 2

=

2

2

＞

1

2

，
∴命题：p：f（x-1）是奇函数，命题q：f（

1

2

）＞

1

2

都成立；
③∵f（x）=2^x-1，
∴f（x-1）=2^x-1-1不是奇函数，
f（

1

2

）=2

1

2

-1=

2

-1＜

1

2

．
∴命题：p：f（x-1）是奇函数，命题q：f（

1

2

）＞

1

2

都不成立．
故答案为：①②．

点评：本题考查命题的真假判断和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．