Question

(本小题满分14分)

已知函数的极值点为和．

（Ⅰ）求实数，的值；

（Ⅱ）试讨论方程根的个数；

（Ⅲ）设，斜率为的直线与曲线交于

两点，试比较与的大小，并给予证明．

Answer 1

本题考查函数、导数等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、分类与整合思想、数形结合思想．满分14分.

解：（Ⅰ），，……………… 1分

由的极值点为和，

∴的根为和，

∴解得                   ……………………3分

（Ⅱ）由得，

，设， .

，      ………………5分

当变化时，与的变化情况如下表：

	－	+
	单调递减	单调递增

由此得，函数的单调减区间为，单调增区间为.…6分

∴，

且当正向趋近于0时，趋近于，

当趋近于时，趋近于. ………………7分

∴当时，方程只有一解；

当时，方程有两解；

当时，方程无解.                         ………………9分

（Ⅲ）.                                   ……………10分

证明：由（Ⅰ）得，

∴，.

要证，即证，

只需证，（因为）

即证．只需证．（*）…………………12分

设 ，

，

∴在单调递增，，

∴不等式（*）成立.

∴．                                 ………………… 14分