Question

当x＞2时，不等式x+

4

x-2

≥a恒成立，则实数a的（　　）

A．最小值是8

B．最小值是6

C．最大值是8

D．最大值是6

Answer 1

分析：根据x＞2，得到x-2＞0，利用基本不等式可得（x-2）+

4

x-2

≥2

(x-2)× 4 x-2

=4，再结合原不等式恒成立，可得到左边的最小值6大于或等于a，由此可得实数a的取值范围是a≤6即可得出答案．

解答：解：∵x＞2
∴x-2＞0
∴x+

4

x-2

=（x-2）+

4

x-2

+2≥2

(x-2)× 4 x-2

+2=6，
当且仅当x-2=

4

x-2

取等号，
而不等式x+

4

x-2

≥a恒成立
∴（x+

4

x-2

）_min≥a
∴a的取值范围是（-∞，6]
则实数a的最大值是6．
故选D．

点评：本题以分式不等式为例，考查了函数恒成立的知识，属于中档题．注意解法中配凑，然后用基本不等式的技巧，这是此类问题的常见处理方法．