Question

研究函数f（x）=

x+a

x+b

（a＞b）的单调性，并加以证明．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：函数f（x）=

x+a

x+b

=

x+b+(a-b)

x+b

=1+

a-b

x+b

．由a＞b，可得a-b＞0．当x＞-b时，函数f（x）单调递减；当x＜-b时，函数f（x）单调递减．利用函数的单调性的定义即可证明．

解答： 解：函数f（x）=

x+a

x+b

=

x+b+(a-b)

x+b

=1+

a-b

x+b

．
∵a＞b，∴a-b＞0．
当x＞-b时，函数f（x）单调递减；当x＜-b时，函数f（x）单调递减．
只证明：当x＞-b时，函数f（x）单调递减；
证明：?-b＜x₁＜x₂．则a-b＞0，x₂-x₁＞0，（x₁+b）（x₂+b）＞0．
∴f（x₁）-f（x₂）=1+

a-b

x1+b

-(1+

a-b

x2+b

)=

(a-b)(x2-x1)

(x1+b)(x2+b)

＞0．
∴f（x₁）＞f（x₂）．
∴当x＞-b时，函数f（x）单调递减．
同理可证，当x＜-b时，函数f（x）单调递减．

点评：本题考查了利用函数的单调性的定义证明函数的单调性，考查了变形的能力，考查了计算能力，属于中档题．