Question

15．已知圆M的极坐标方程为ρ=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），现以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系．
（1）求圆M的标准方程；
（2）过圆心M的直线l与椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1交于A，B两点，求|MA|•|MB|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$可得直角坐标方程．
（2））圆心M$（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$，取参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}+tcosα}\\{y=\frac{1}{2}+tsinα}\end{array}\right.$，代入椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，利用根与系数的关系可得|MA|•|MB|=-t₁t₂．

解答 解：（1）ρ=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），展开化为：${ρ}^{2}=\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρsinθ+ρcosθ），∴x²+y²=x+y．
化为标准方程为：$（x-\frac{1}{2}）^{2}+（y-\frac{1}{2}）^{2}=\frac{1}{2}$．
（2）圆心M$（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$，取参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}+tcosα}\\{y=\frac{1}{2}+tsinα}\end{array}\right.$，
代入椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1可得：（1+sin²α）t²+（2sinα+cosα）t-$\frac{5}{4}$=0．
∴|MA|•|MB|=$\frac{5}{4（1+si{n}^{2}α）}$∈$[\frac{5}{8}，\frac{5}{4}]$．

点评 本题考查了极坐标方程与直角坐标方程互化的方法、直线参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．