Question

4．求：（1）y=$\frac{4sinx+3}{sinx+2}$（2）y=$\frac{3sinx-3}{2cosx+10}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）由分离变量法，结合正弦函数的最值，即可得到所求最小值；
（2）y=$\frac{3sinx-3}{2cosx+10}$可化为y=$\frac{3}{2}$•$\frac{sinx-1}{cosx-（-5）}$可看作点（cosx，sinx）和（-5，1）连线的斜率k的$\frac{3}{2}$倍，由直线和圆相切可得．

解答 解：（1）由y=$\frac{4sinx+3}{sinx+2}$，可得
y=4-$\frac{5}{sinx+2}$，
由-1≤sinx≤1可得
当sinx=-1时，y取得最小值，
且为4-5=-1；
（2）y=$\frac{3sinx-3}{2cosx+10}$可化为y=$\frac{3}{2}$•$\frac{sinx-1}{cosx-（-5）}$，
可看作点（cosx，sinx）和（-5，1）连线的斜率k的$\frac{3}{2}$倍，
由cos²x+sin²x=1可知点（cosx，sinx）在单位圆x²+y²=1上，
当过定点（-5，1）的直线与单位圆x²+y²=1相切时k取最值，
联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\\{y-1=k（x+5）}\end{array}\right.$，
消去y整理可得（k²+1）x²+2k（5k+1）x+（5k+1）²-1=0，
由△=4k²（25k²+10k+1）-4（k²+1）（25k²+10k）=0，
可解得k=0或k=-$\frac{5}{12}$，
∴函数y=$\frac{3sinx-3}{2cosx+10}$的最小值是-$\frac{5}{8}$．

点评 本题考查三角函数的最值，运用分离变量和运用正弦函数的最值，或者转化为直线与圆的位置关系是解决问题的关键，属中档题．