Question

14．设f（x）=ax²+bx+c，当|x|≤1时，总有|f（x）|≤1，求证：|f（2）|≤7．

Answer 1

分析 由已知可得|f（0）|≤1，|f（1）|≤1，|f（-1）|≤1，即|c|≤1，|a+b+c|≤1，|a-b+c|≤1，将|f（2）|=|4a+2b+c|化为：|3（a+b+c）+（a-b+c）-3c|≤|，用不等式的基本性质结合放缩法证明．

解答 证明：∵f（x）=ax²+bx+c，当|x|≤1时，总有|f（x）|≤1，
∴|f（0）|≤1，|f（1）|≤1，|f（-1）|≤1，
∴|c|≤1，|a+b+c|≤1，|a-b+c|≤1；
∵|f（2）|=|4a+2b+c|=|3（a+b+c）+（a-b+c）-3c|≤|3（a+b+c）|+|（a-b+c）|+|-3c|≤3+1+3=7，
∴|f（2）|≤7，
即：|f（2）|≤7．

点评 本考点考查二函数的最值及其几何意义，不等式的性质，以及不等式证明时常用的技巧放缩法的技巧．