Question

数列{a_n} 中，a₁=，前n项和S_n满足Sn+1-Sn=（n∈N^*）．
（1）求数列数列{a_n} 的通项公式a_n，以及前n项和S_n；
（2）b_n=，求数列{a_n•b_n} 的前n项的和T_n．

Answer 1

解：（1）∵S_n满足S_n+1-S_n=（n∈N^*）．
∴a_n=（n∈N^*）．
a_n=（n≥2，n∈N^*）．
又∵n=1时，a₁=，
∴a_n=（n∈N^*）．
∴S_n=1-（n∈N^*）．
（2）由（1）中a_n=（n∈N^*）．
∴b_n==n
∴a_n•b_n=n•（n∈N^*）
∴T_n=1•+2•²+3•³+…+n•③
2T_n=1•⁰+2•¹+3•²+…+n•④
由③-④得：
-T_n=-1-（¹+²+…+）+n•=-2+（n+2）
∴T_n=2-（n+2）
分析：（1）分析题意可知是由s_n求a_n故需利用a_n与s_n的关系：当n≥2时，a_n=s_n-s_n-1来求解同时需验证a₁=1是否也满足上式．当a_n求出后分析它的特征然后决定采用什么方法求前n项和．
（2）由b_n=，根据（1）数列{a_n} 的通项公式a_n，可求出数列{a_n•b_n} 的通项公式，进而求出数列{a_n•b_n} 的前n项的和T_n．
点评：本题主要考查由前n 项和的递推公式求数列通项公式，及用错位相减求和法求T_n，属中档题．