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    定义在（0，+∞）上的函数数学公式．
    （1）求函数f（x）的最大值；（2）对于任意正实数a、b，设数学公式．

    解：（1）．∵，∴由f'（x）=0，得x=1．
    当x变化时，f'（x）、f（x）的变化如下表：
    x（0，1）1（1，+∞）
    f'（x）+0-
    f（x）↗极大↘
    又f（1）=p-1，所以f（x）≤f（1），即f（x）的最大值为p-1．
    （2）由（1）得．
    设，则，即，
    ∴，
    ∴
    ∴，
    将代入，得．
    分析：（1）先求导函数，从而可确定函数在（0，1）上单调增，在（1，+∞）上单调减，从而函数在x=1时，取得最大值，即可求解；
    （2）利用（1）中的最大值可得不等式．设，代入不等式，再利用，即可证得．
    点评：本题以函数为载体，考查导数的运用，考查函数的最值，同时考查了不等式的证明，解题的关键是利用（1）的结论构造不等式，利用换元法求解．
    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知定义在（0，1）上的函数f（x），对任意的m，n∈（1，+∞）且m＜n时，都有f(
    1
    n
    )-    f(
    1
    m
    )=f(
    m-n
    1-mn
    )    记an=f(
    1
    n2+5n+5
    )    ，n∈N*，则在数列{an}中，a1+a2+…a8=（　　）
    A、f(
    1
    2
    )
    B、f(
    1
    3
    )
    C、f(
    1
    4
    )
    D、f(
    1
    5
    )

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设f（x）是定义在（0，1）上的函数，且满足：①对任意x∈（0，1），恒有f（x）＞0；②对任意x1，x2∈（0，1），恒有
    f(x1)
    f(x2)
    +
    f(1-x1)
    f(1-x2)
    ≤2    ，则下面关于函数f（x）判断正确的是（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2011•顺义区二模）已知定义在区间[0，
    3π
    2
    ]上的函数y=f（x）的图象关于直线x=
    3π
    4
    对称，当x≥
    3π
    4
    时，f（x）=cosx，如果关于x的方程f（x）=a有解，记所有解的和为S，则S不可能为（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    填空题
    （1）已知
    cos2x
    sin(x+
    π
    4
    )
    =
    4
    3
    ，则sin2x的值为
    1
    9
    1
    9
    ．
    （2）已知定义在区间[0，
    3π
    2
    ]    上的函数y=f（x）的图象关于直线x=
    3π
    4
    对称，当x≥
    3π
    4
    时，f（x）=cosx，如果关于x的方程f（x）=a有四个不同的解，则实数a的取值范围为
    (-1，-
    		2
    2
    )
    (-1，-
    		2
    2
    )
    ．

    （3）设向量
    a
    ，
    b
    ，
    c
    满足
    a
    +
    b
    +
    c
    =
    0
    ，(
    a
    -
    b
    )⊥
    c
    ，
    a
    ⊥
    b
    ，若|
    a
    |=1    ，则|
    a
    |2+|
    b
    |2+|
    c
    |2    的值是
    4
    4
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•湖州二模）定义在（0，
    π
    2
    ）上的函数f（x），f′（x）是它的导函数，且恒有f（x）＜f′（x）tanx成立，则（　　）

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