Question

15．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，过F₂的直线与椭圆交于A、B两点，若△F₁AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则离心率为 （　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． 2-$\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{5}$-2
• D． $\sqrt{6}$-$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 设|F₁F₂|=2c，|AF₁|=m，若△ABF₁构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF₁|=m，|BF₁|=$\sqrt{2}$m，再由椭圆的定义和周长的求法，可得m，再由勾股定理，可得a，c的方程，求得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$，开方得答案．

解答 解：如图，设|F₁F₂|=2c，|AF₁|=m，
若△ABF₁构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，
则|AB|=|AF₁|=m，|BF₁|=$\sqrt{2}$m，
由椭圆的定义可得△ABF₁的周长为4a，
即有4a=2m+$\sqrt{2}$m，即m=2（2-$\sqrt{2}$）a，
则|AF₂|=2a-m=（2$\sqrt{2}$-2）a，
在直角三角形AF₁F₂中，
|F₁F₂|²=|AF₁|²+|AF₂|²，
即4c²=4（2-$\sqrt{2}$）²a²+4（$\sqrt{2}$-1）²a²，
∴c²=（9-6$\sqrt{2}$）a²，
则e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=9-6$\sqrt{2}$=$9-2\sqrt{18}$，
∴e=$\sqrt{6}-\sqrt{3}$．
故选：D．

点评 本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，同时考查勾股定理的运用，灵活运用椭圆的定义是解题的关键，是中档题．