Question

如图，从椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F₁，又点A是椭圆与x轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP，|F1A|=

10

+

5

，
（1）求椭圆E的方程．
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点C，D，且

OC

⊥

OD

？若存在，写出该圆的方程，并求|CD|的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）易求点P坐标，由k_OP=k_AB，由斜率公式可得b，c关系，进而可得a，c关系，由|F1A|=

10

+

5

得关于a，c的方程，可求得c，进而可得a，b；
（2）假设存符合题意的圆，切线与椭圆的交点为C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），当该圆的切线不垂直x轴时，设其方程为y=kx+m，与椭圆方程联立消掉y可得x的二次方程，则△＞0①，由

OC

⊥

OD

，得x₁x₂+y₁y₂=0，代入韦达定理可得k，m的关系式②，由①②可求得m的范围，根据直线与圆相切可求得半径r，圆的方程，当切线斜率不存在时，求出切线方程、交点坐标可检验条件；当切线斜率不存在时易求|CD|；当切线存在斜率时，由弦长公式可用k表示出|CD|，再分k=0，k≠0两种情况求得其范围；

解答：解：（1）由题意可求点P的坐标为(-c，

b2

a

)，由AB∥OP得，

kOP=kAB⇒- b2 ac =- b a ⇒b=c，a= 2 c |F1A|=a+c=(1+ 2 )c= 10 + 5 ⇒c= 5

∴a=

10

，b=

5

，
椭圆E的方程为

x2

10

+

y2

5

=1；
（2）假设存符合题意的圆，切线与椭圆的交点为C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
当该圆的切线不垂直x轴时，设其方程为y=kx+m，
由方程组

y=kx+m x2 10 + y2 5 =1

，得x²+2（kx+m）²=10，即（1+2k²）x²+4kmx+2m²-10=0，
则△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-10）=8（10k²-m²+5）＞0，即10k²-m²+5＞0，

x1+x2=- 4km 1+2k2 x1x2= 2m2-10 1+2k2

，
∴y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=

k2(2m2-10)

1+2k2

-

4k2m2

1+2k2

+m2=

m2-10k2

1+2k2

，
要使

OC

⊥

OD

，需使x₁x₂+y₁y₂=0，即

2m2-10

1+2k2

+

m2-10k2

1+2k2

=0，
∴3m²-10k²-10=0，∴k2=

3m2-10

10

≥0，
又10k²-m²+5＞0，∴

2m2＞5 3m2≥10

，
∴m2≥

10

3

，即m≥

30

3

或m≤-

30

3

，
∵直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，
∴圆的半径为r=

|m|

1+k2

，r2=

m2

1+k2

=

m2

1+ 3m2-10 10

=

10

3

，
所求的圆为x2+y2=

10

3

，
此时圆的切线y=kx+m都满足m≥

30

3

或m≤-

30

3

；
而当切线的斜率不存在时，切线为x=±

30

3

，与椭圆

x2

10

+

y2

5

=1的两个交点为(

30

3

，±

30

3

)或(-

30

3

，±

30

3

)，满足

OC

⊥

OD

；
综上所述，存在圆心在原点的圆x2+y2=

10

3

，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点C，D，且

OC

⊥

OD

．
∵

x1+x2=- 4km 1+2k2 x1x2= 2m2-10 1+2k2

，
∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(-

4km

1+2k2

)2-4×

2m2-10

1+2k2

=

8(10k2-m2+5)

(1+2k2)2

，
∴|CD|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

40 3 • 4k4+5k2+1 4k4+4k2+1

=

40 3 (1+ k2 4k4+4k2+1 )

，
①当k≠0时，|CD|=

40 3 (1+ 1 4k2+ 1 k2 +4 )

，
∵4k2+

1

k2

+4≥8，∴0＜

1

4k2+ 1 k2 +4

≤

1

8

，
∴

40

3

＜

40

3

[1+

1

4k2+ 1 k2 +4

]≤15，
∴

2 30

3

＜|CD|≤

15

，当且仅当k=±

2

2

时取”=”．
②当k=0时，易求|CD|=

2 30

3

；
③当CD的斜率不存在时，两个交点为(

30

3

，±

30

3

)或(-

30

3

，±

30

3

)，∴此时|CD|=

2 30

3

；
综上所述，|CD|的取值范围为

2 30

3

≤|CD|≤

15

，即：|CD|∈[

2 30

3

，

15

]．

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系、椭圆标准方程的求解，考查分类讨论思想、函数思想，考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力，本题综合性强，运算量大，能力要求较高．