Question

设抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与抛物线交于P₁，P₂两点，已知|P₁P₂|=8．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点M（3，0）作方向向量为

d

=(1，a)的直线与曲线C相交于A，B两点，求△FAB的面积S（a）并求其值域；
（3）设m＞0，过点M（m，0）作直线与曲线C相交于A，B两点，问是否存在实数m使∠AFB为钝角？若存在，请求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由条件|P₁P₂|=8，可得2p=8，∴抛物线C的方程为y²=8x；…．（4分）
（2）直线方程为y=a（x-3）代入y²=8x，∴ay²-8y-24a=0，…．（6分）
△=64+96a²＞0恒成立．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y1+y2=

8

a

，y1y2=-24，…．（7分）
S△=

1

2

|MF|•|y1-y2|=

2 4+6a2

|a|

=2

6+ 4 a2

，…．（9分）
∴S△∈(2

6

，+∞)．…．（10分）
（3）设所作直线的方向向量为

d

=(p，1)，则直线方程为py=x-m代入y²=8x得y²-8py-8m=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），y₁+y₂=8p，y₁y₂=-8m．…．（12分）
又F（2，0），则

FA =

(x1-2，y1)，

FB

=(x2-2，y2)，
∵∠AFB为钝角，∴

FA

•

FB

＜0，∴（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂＜0，…．（14分）
即x₁x₂-2（x₁+x₂）+4-8m＜0，∴

(y1y2)2

64

-2[p(y1+y2)+2m]+4-8m＜0
∴m²-12m+4＜16p²，该不等式对任意实数p恒成立，…．（16分）
因此m²-12m+4＜0，∴6-4

2

＜m＜6+4

2

．…．（17分）
又m≠2，因此，当m∈(6-4

2

，2)∪(2，6+4

2

)时满足条件．…．（18分）