Question

 已知x，y都是正实数，且x＋y－3xy＋5＝0.

(1)求xy的最小值；

(2)求x＋y的最小值．

 

Answer 1

 解析：(1)由x＋y－3xy＋5＝0，得x＋y＋5＝3xy.

∴2＋5≤x＋y＋5＝3xy.

∴3xy－2－5≥0.

∴(＋1)(3－5)≥0.

∴≥，即xy≥，等号成立的条件是x＝y.

此时x＝y＝，故xy的最小值是.

(2)方法一：∵x＋y＋5＝3xy≤3·²＝(x＋y)²，

∴(x＋y)²－(x＋y)－5≥0.

即3(x＋y)²－4(x＋y)－20≥0.

即[(x＋y)＋2][3(x＋y)－10]≥0.

∴x＋y≥.

等号成立的条件是x＝y，即x＝y＝时取得．

故x＋y的最小值为.

方法二：由(1)知，x＋y＋5＝3xy，且(xy)_min＝，

∴3(xy)_min＝.

∴(x＋y)_min＝－5＝，此时x＝y＝.