Question

【题目】已知函数f（x）=sin（ ﹣x）sinx﹣ cos2x． （I）求f（x）的最小正周期和最大值；
（II）讨论f（x）在[ ， ]上的单调性．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=sin（ ﹣x）sinx﹣ x=cosxsinx﹣ （1+cos2x） = sin2x﹣ cos2x﹣ =sin（2x﹣ ）﹣ ，
故函数的周期为 =π，最大值为1﹣ ．
（Ⅱ）当x∈ 时，2x﹣ ∈[0，π]，故当0≤2x﹣ ≤ 时，即x∈[ ， ]时，f（x）为增函数；
当 ≤2x﹣ ≤π时，即x∈[ ， ]时，f（x）为减函数．
【解析】（Ⅰ）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和最值求得f（x）的最小正周期和最大值． （Ⅱ）根据2x﹣ ∈[0，π]，利用正弦函数的单调性，分类讨论求得f（x）在 上的单调性．
【考点精析】通过灵活运用二倍角的余弦公式，掌握二倍角的余弦公式：即可以解答此题．