Question

点P（-3，1）在椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左准线上，过点P（-3，1）且方向为

a

=(2，-5)的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为

3

3

．

Answer 1

分析：根据对称性可知光线经过直线y=-2反射后的直线过已知过点P（-3，1）且方向为

m

=（2，-5）的直线 与y=-2的交点，反射后所在的直线与x轴的交点即为椭圆的左焦点，从而可求c，再根据点P（-3，1）在椭圆的左准线上，求得a和c的关系求得a，则椭圆的离心率可得．

解答：解：如图，过点P（-3，1）的方向

a

=（2，-5）
所以K_PQ=-

5

2

，
根据直线方程的点斜式得：l_PQ的方程为y-1=-

5

2

（x+3），
与y=-2的交点为 (-

9

5

，-2)
光线经过直线y=-2反射后所在的直线方程为y+2=

5

2

(x+

9

5

)，
与x轴的交点（-1，0）即为椭圆的左焦点
得：c=1，

a2

c

=3，则a=

3

，
所以椭圆的离心率e=

c

a

=

3

3

，
故答案为：

3

3

．

点评：本题主要考查了椭圆的简单性质、利用对称性求解直线方程，解题的关键是要发现反射关系过入射关系与y=-2的焦点，还要注意方向向量的概念的理解．