Question

如图，铁路线上AC段长99km，工厂B到铁路的距离BC为20km，现在要在AC上某一点D处，向B修一条公路，已知铁路每吨千米与公路每吨千米的运费之比为λ（0＜λ＜1），为了使从A到B的运费最省，D应选在离C距离多远处．

Answer 1

分析：设∠BDC=α，总运费为T，铁路和公路每公里的运费分别为λ和1，则可构建函数，利用导数法可求最小值．

解答：解：设∠BDC=α，总运费为T，铁路和公路每公里的运费分别为λ和1
则T=99λ-

20λcosα

sinα

+

20

sinα

∴T′=

20λ-20cosα

sin2α

由导数为0得，cosα=λ
且cosα∈（0，λ）时单调减，cosα∈（λ，+∞） 时单调增
∴cosα=λ时，T取极小值，且为最小值
此时DC=

20λ

1-λ2

km

点评：本题以实际问题为证题，考查函数模型的构建，考查导数的运用，关键是引入角，从而用导数法求解．