Question

10．△ABC的两个顶点为A（-1，0），B（1，0），△ABC周长为6，则C点轨迹为以A，B为焦点的椭圆（除去椭圆与x轴的交点），方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1（{y≠0}）$．

Answer 1

分析 根据三角形的周长和定点，得到点A到两个定点的距离之和等于定值，得到点C的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在x轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点．

解答 解：∵△ABC的两顶点A（-1，0），B（1，0），△ABC周长为6，
∴AB=2，BC+AC=4，
∵4＞2，∴点C到两个定点的距离之和等于定值，点C满足椭圆的定义，
∴点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆（除去椭圆与x轴的交点），
∴2a=4，2c=2，∴a=2，c=1，b=$\sqrt{3}$，
∴椭圆的标准方程是$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1（{y≠0}）$，
故答案为以A，B为焦点的椭圆（除去椭圆与x轴的交点），方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1（{y≠0}）$．

点评 本题考查轨迹方程的求法，注意椭圆的定义的应用是关键．